Question

已知函數f（x）定義域為（0，+∞），且滿足2f（x）+f（

1

x

）=（2x-

1

x

）lnx．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）設g（x）=

x+f(x)

xe2x

，h（x）=（2x²+x）g′（x），求證：?x∈（0，+∞），h（x）＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）令x=

1

x

，構建關于f（x）與f(

1

x

)的方程組，可求得結果．利用導數有關知識即能求得函數的最小值；
（2）利用導數研究函數h（x）在（0，+∞）上的最大值，就能證得結果．

解答：（1）解：令x=

1

x

，代入2f（x）+f（

1

x

）=（2x-

1

x

）lnx    ①
得，2f(

1

x

)+f(x)=(

2

x

-x)ln

1

x

       ②
聯立①②解得：f（x）=xlnx
f′(x)=lnx+x•

1

x

=lnx+1
當x∈(0，

1

e

)時，f^′（x）0，函數遞增．
∴當x=

1

e

時，函數取到極小值，也是函數的最小值
故最小值為f(

1

e

)=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

（2）證明：由（1）得g(x)=

x+f(x)

xe2x

=

x+xlnx

xe2x

=

1+lnx

e2x

∴g′(x)=

1 x -2-2lnx

e2x

∴h（x）=（2x²+x）g^′（x）=(2x2+x)

1 x -2-2lnx

e2x

=

(2x+1)(1-2x-2xlnx)

e2x

令p（x）=1-2x-2xlnx
p′(x)=-2-2lnx-2x×

1

x

=-4-2lnx
當x∈(0，

1

e2

)時，p^′（x）＞0，函數遞增；當x∈(

1

e2

，+∞)時，p^′（x）＜0，函數遞減．
故x=

1

e2

時，函數取到極大值，也是函數的最大值．
即p(x)max=p(

1

e2

)=1+

2

e2

，且1+

2

e2

＜

4

3

同理可求得

2x+1

e2x

＜1
故h(x)＜

2x+1

e2x

×

4

3

＜

4

3

點評：本題主要考查了函數解析式的求法、利用導數研究函數的最值；解題中要熟悉復雜函數的求導；對運算的要求比較高．