Question

設x，y∈R，

i

，

j

為直角坐標平面內x軸y軸正方向上的單位向量，若

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8
（Ⅰ）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設曲線C上兩點AB，滿足（1）直線AB過點（0，3），（2）若

OP

=

OA

+

OB

，則OAPB為矩形，試求AB方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先令M（x，y），F₁（0，-2），F₂（0，2），把|

a

|+|

b

|轉化為|

F1M

|+|

F2M

|，再利用|

a

|+|

b

|=8即可知道動點M（x，y）的滿足橢圓定義，進而求出軌跡C的方程；
（Ⅱ）先把直線方程和橢圓方程聯立，求出關于點A和點B的坐標的方程①，在利用OAPB為矩形轉化為OA⊥OB既為

OA

•

OB

=0．把①式代入就可求直線AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）令M（x，y），F₁（0，-2），F₂（0，2）
則

a

=

F1M

，

b

=

F2M

即|

a

|+|

b

|=|

F1M

|+|

F2M

|
即|

F1M

|+|

F2M

|=8
又∵|

F1F2

|=4=2C
∴c=2，a=4，b²=12（3分）
所求軌跡方程為

y2

16

+

x2

12

=1（6分）
（Ⅱ）由條件（2）可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在
設AB方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則

y=kx+3 y2 16 + x2 9 =1

?（3k²+4）x²+18kx-21=0（8分）
x₁+x₂=-

18k

3k2+4

，x₁•x₂=-

-21

3k2+4

y₁•y₂=（kx₁+3）•（kx₂+3）=k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9=

36-48k2

3k2+4

∵OAPB為矩形，∴OA⊥OB?

OA

•

OB

=0（10分）
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0得k=±

5

4

所求直線方程為y=±

5

4

x+3（12分）

點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量垂直問題．在研究直線和圓錐曲線問題時，通常把直線方程和圓錐曲線方程聯立，找到關于二者交點坐標的方程，再代入已知條件解題．