Question

（2012•西山區模擬）設x，y∈R，

i

，

j

為直角坐標平面內x，y軸正方向上單位向量，若向量

a

=(x+

3

)

i

+y

j

，

b

=(x-

3

)

i

+y

j

，且|

a

|+|

b

|=2

6

．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）若直線L與曲線C交于A、B兩點，若

OA

•

OB

=0，求證直線L與某個定圓E相切，并求出定圓E的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意，可得點M（x，y）到兩個定點F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）的距離之和為2

6

，從而點M的軌跡C是以F₁、F₂為焦點的橢圓，故可得方程；
（2）當直線的斜率存在時，設直線為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理及x₁•x₂+y₁•y₂=0，可得直線L與圓x²+y²=2相切；當直線的斜率不存在時，可得直線為x=±

2

，與圓x²+y²=2相切．

解答：（1）解：∵

a

=(x+

3

)

i

+y

j

，

b

=(x-

3

)

i

+y

j

，且|

a

|+|

b

|=2

6

．
∴點M（x，y）到兩個定點F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）的距離之和為2

6

∴點M的軌跡C是以F₁、F₂為焦點的橢圓，其方程為

x2

6

+

y2

3

=1（5分）
（2）證明：當直線的斜率存在時，設直線為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立直線與橢圓的方程，得

x2+2y2=6 y=kx+m

消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0．
因為直線與橢圓有兩個不同的交點，所以16k²m²-4（1+2k²）（2m²-6）＞0，所以m²＜6k²+3（﹡）
x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1•x2=

2m2-6

1+2k2

（7分）
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-6k2

1+2k2

∵

OA

•

OB

=0，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴

2m2-6

1+2k2

+

m2-6k2

1+2k2

=0
∴m²=2k²+2滿足（﹡）式，并且

|m|

k2+1

=

2

，即原點到直線L的距離是

2

，
∴直線L與圓x²+y²=2相切．（10分）
當直線的斜率不存在時，直線為x=m，
∴A（m，

6-m2 2

），B（m，-

6-m2 2

），
∵

OA

•

OB

=0，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴m2-3+

m2

2

=0，m=±

2

，直線L的方程是x=±

2

，
∴直線L與圓x²+y²=2相切．
綜合之得：直線L與圓x²+y²=2相切．（12分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查橢圓的定義與標準方程，考查直線與圓、橢圓的位置關系，正確運用向量條件是關鍵．