Question

已知平行四邊形ABCD(圖1)中,AB=4,BC=5,對角線AC=3,將三角形ACD沿AC折起至PAC位置(圖2),使二面角為60⁰,G,H分別是PA,PC的中點.

（1）求證:PC平面BGH;
（2）求平面PAB與平面BGH夾角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）平面PAB與平面BGH夾角的余弦值．

試題分析：（1）求證: 平面，證明線面垂直，只需證明線和平面內兩條相交直線垂直即可，由于是的中位線,，所以，由已知，對角線,得，從而可得，即，即，只需再找一條垂線即可，
若問題得證，要證，只要即可，由已知二面角為60⁰，可找二面角的平面角，故過C作且,連，則，這樣可證得，從而得證；（2）求平面PAB與平面BGH夾角的余弦值，求二面角的大小，可采用向量法來求，以CE的中點O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可得各點的坐標，分別找出兩個平面的法向量，即可求出平面PAB與平面BGH夾角的余弦值．
試題解析：（1）證明:過C作且,連BE,PE
,
四邊形是矩形,，
平面PEC,
是正三角形
平面PEC
=5=BC,
而H是PC的中點,,是的中位線,,
,平面BGH.
（2）以CE的中點O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,
,,
先求平面PAB的法向量為,而平面BGH的法向量為,
設平面PAB與平面BGH的夾角為,則.