Question

【題目】已知函數f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），并設 ，
（1）若F（x）圖像在x=0處的切線方程為x﹣y=0，求b、c的值；
（2）若函數F（x）是（﹣∞，+∞）上單調遞減，則 ①當x≥0時，試判斷f（x）與（x+c）2的大小關系，并證明之；
②對滿足題設條件的任意b、c，不等式f（c）﹣Mc2≤f（b）﹣Mb2恒成立，求M的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，所以 ，

又因為F（x）圖像在x=0處的切線方程為x﹣y=0，

所以 ，即 ，解得 b=1，c=0

（2）解：①因為F（x）是（﹣∞，+∞）上的單調遞減函數，所以F′（x）≤0恒成立，

即﹣x2+（2﹣b）x+（b﹣c）≤0對任意的x∈R恒成立，

所以△=（2﹣b）2+4（b﹣c）≤0，所以 ，即c＞b且c≥1，

令g（x）=f（x）﹣（x+c）2=（b﹣2c）x﹣c（c﹣1），由b﹣2c＜0，知g（x）是減函數，

故g（x）在[0，+∞）內取得最小值g（0），又g（0）=﹣c（c﹣1）≤0，

所以x≥0時，g（x）≤g（0）≤0，即f（x）≤（x+c）2．

②由①知，c≥|b|≥0，當|b|=c時，b=c或b=﹣c，

因為b2+4﹣4c≤0，即c2+4﹣4c≤0，解得c=2，b=2或b=﹣2，所以f（x）=x2±2x+2，

而f（c）﹣f（b）=c2+bc+c﹣b2﹣b2﹣c=c2+bc﹣2b2=（c+2b）（c﹣b），

所以f（c）﹣f（b）=﹣8或0，

不等式f（c）﹣Mc2≤f（b）﹣Mb2等價于f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2），

變為﹣8≤M0或0≤M0恒成立，M∈R，

當|b|≠c時，c＞|b|，即c2﹣b2＞0，所以不等式f（c）﹣Mc2≤f（b）﹣Mb2恒成立等價于 恒成立，等價于 ，

而 ，

因為c＞|b|， ，所以 ，所以 ，所以 ，

所以 ，所以

【解析】（1）欲求b，c的值，根據所給的切線方程，只須求出切線斜率即可，故先利用導數求出在x=0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率進而得切線方程，最后與所給的方程比較即得b，c的值；（2）根據函數F（x）是（﹣∞，+∞）上單調遞減，得到F′（x）≤0恒成立，從而得到c＞b且c≥1，①令g（x）=f（x）﹣（x+c）2=（b﹣2c）x﹣c（c﹣1），從而得到結果；②不等式f（c）﹣Mc2≤f（b）﹣Mb2恒成立等價于f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，分離參數可得 恒成立，轉化為求 的最大值即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．