Question

【題目】（本小題滿分13分）

某電視臺播放甲、乙兩套連續劇，每次播放連續劇時，需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續劇時，連續劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：

	連續劇播放時長（分鐘）	廣告播放時長（分鐘）	收視人次（萬）
甲	70	5	60
乙	60	5	25

已知電視臺每周安排甲、乙連續劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續劇播放的次數不多于乙連續劇播放次數的2倍.分別用，表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續劇的次數.

（I）用，列出滿足題目條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；

（II）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續劇各多少次，才能使收視人次最多？

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）電視臺每周播出甲連續劇6次、乙連續劇3次時才能使總收視人次最多.

【解析】（Ⅰ）解：由已知，滿足的數學關系式為即

該二元一次不等式組所表示的平面區域為圖1中的陰影部分：

（Ⅱ）解：設總收視人次為萬，則目標函數為.

考慮，將它變形為，這是斜率為，隨變化的一族平行直線.為直線在軸上的截距，當取得最大值時，的值最大.又因為滿足約束條件，所以由圖2可知，當直線經過可行域上的點M時，截距最大，即最大.

解方程組得點M的坐標為.

所以，電視臺每周播出甲連續劇6次、乙連續劇3次時才能使總收視人次最多.