Question

【題目】在測試中，客觀題難題的計算公式為，其中為第題的難度， 為答對該題的人數， 為參加測試的總人數.現對某校高三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題.測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：

測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統計各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對，“×”表示答錯）：

（1）根據題中數據，將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數及相應的實測難度填入下表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數；

（2）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；

（3）定義統計量，其中為第題的實測難度， 為第題的預估難度（）.規定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理.判斷本次測試的難度預估是否合理.

Answer 1

【答案】(1)見解析，24 (2) （3）該次測試的難度預估是合理的.

【解析】試題分析：（1）根據題中數據，統計各題答對的人數，進而根據Pi ，得到難度系數；

（2）根據古典概型概率計算公式，可得從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；（3）由計算出S值與0.05比較，可得答案.

試題解析：

(1) 每道題實測的答對人數及相應的實測難度如下表：

所以，估計120人中有人答對第5題.

(2) 記編號為的學生為（），從這5人中隨機抽取2人，不同的抽取方法有10種.

其中恰好有1人答對第5題的抽取方法為，共6種.

所以，從抽樣的10名學生中隨機抽取2名答對至少4道題的學生，恰好有1人答對第5題的概率為.

（3）為抽樣的10名學生中第題的實測難度，用作為這120名學生第題的實測難度.

因為，所以，該次測試的難度預估是合理的.