Question

給出下列四個命題：
①命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p：?x∈R，sinx＜1；
②當a≥1時，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空；
③當x＞1時，有1nx+

1

1nx

≥2；
④設有五個函數y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，其中既是偶函數又在（0，+∞）上是增函數的有2個．
其中真命題的序號是

③④

．

Answer 1

分析：根據全稱命題的否定方法，我們可以判斷①的真假；
根據絕對值的幾何意義，可得函數y=|x-4|+|x-3|的值域為[1，+∞），可得②的真假；
當x＞1時，lnx＞0，有基本不等式得③的真假；
根據冪函數，指數函數的奇偶性和單調性結合函數圖象的對折變換，可判斷④的真假．

解答：解：根據全稱命題的否定方法--“即要否定量詞，又要否定結論”，即命題p為：?x∈R，sinx≤1時，則￢p應為：?x∈R，sinx＞1，故①錯誤；
∵函數y=|x-4|+|x-3|的值域為[1，+∞），∴當a＞1時，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空，故②錯誤；
當x＞1時，lnx＞0，由基本不等式得1nx+

1

1nx

≥2

1nx• 1 1nx

=2，故③正確；
函數y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，其中既是偶函數又在（0，+∞）上是增函數的有y=x²，y=2^|x|共2個，故④正確；
故答案為：③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，全稱命題的否定，絕對值不等式，基本不等式，冪函數，指數函數的性質，其中熟練掌握相關函數的性質及不等式的解法是解答的關鍵．