Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點A（a，4）到其準線的距離為

17

4

．
（Ⅰ）求p與a的值；
（Ⅱ）設拋物線C上動點P的橫坐標為t（0＜t＜2），過點P的直線交C于另一點Q，交x軸于M點（直線PQ的斜率記作k）．過點Q作PQ的垂線交C于另一點N．若MN恰好是C的切線，問k²+tk-2t²是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用拋物線的定義和點在拋物線上滿足的條件即可得出；
（II）由題意可知：過點P（t，t²）的直線PQ的斜率k不為0，則直線PQ：y-t²=k（x-t），即可求出點M的坐標，把直線PQ的方程與拋物線的方程聯立即可得出點Q的坐標．由QN⊥QP，即可得出直線QN的方程，與拋物線方程聯立即可得出點N的坐標，利用導數和斜率的計算公式即可得出直線MN兩種形式的斜率，化簡即可證明結論．

解答：解：（I）可得拋物線的準線方程為y=-

p

2

，由題意可得4+

p

2

=

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4

，解得p=

1

2

．
∴拋物線的方程為x²=y．把點A（a，4）代人此方程得a²=4，解得a=±2．
∴a=±2，p=

1

2

．
（II）由題意可知：過點P（t，t²）的直線PQ的斜率k不為0，則直線PQ：y-t²=k（x-t），
當y=0時，x=t-

t2

k

，∴M(t-

t2

k

，0)．
聯立

y-t2=k(x-t) x2=y

消去y得（x-t）[x-（k-t）]=0，
解得x=t，或x=k-t．∴Q（k-t，（k-t）²），
∵QN⊥QP，∴kQN=-

1

k

，∴直線NQ：y-(k-t)2=-

1

k

[x-(k-t)]，
聯立

y-(k-t)2=- 1 k [x-(k-t)] x2=y

，消去y化為[x-(k-t)][x+(k-t)+

1

k

]=0，解得x=k-t，或x=t-k-

1

k

．
∴N(t-k-

1

k

，(t-k-

1

k

)2)，∴拋物線在點N處的切線的斜率為y′=2x|x=t-k-

1

k

=2(t-k-

1

k

)，
另一方面k_MN=

(t-k- 1 k )2

t2 k -k- 1 k

，
∴2(t-k-

1

k

)=

(t-k- 1 k )2

t2 k -k- 1 k

，
∵t-k-

1

k

≠0，∴2(

t2

k

-k-

1

k

)=t-k-

1

k

，化為k²+tk-2t²=-1為定值．

點評：熟練掌握拋物線的定義及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立即可得到交點的坐標、導數的幾何意義與切線的斜率關系、斜率的計算公式設解題的關鍵．