Question

【題目】已知函數的圖象過點．

（1）求的值并求函數的值域；

（2）若關于的方程在有實根，求實數的取值范圍；

（3）若函數，則是否存在實數，對任意，存在使成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）

（3）存在，或

【解析】

（1）因為函數的圖象過點，把點代入由即可求解.

（2）關于的方程在有實根，即有實根，

即函數與函數有交點，令，的值域即為實數的取值范圍，

（3）對任意，存在使成立，

則，由單調遞增，求出，令 ，則 ，

即或者恒成立在上，

分離參數即可求解.

（1）因為函數的圖象過點，

所以，即，所以，

所以，因為單調遞增，所以單調遞增，

因為，所以，

所以函數的值域為.

（2）因為關于的方程在有實根，即有實根，

即函數與函數有交點，

令，則函數的圖像與直線有交點，

又

任取且，則

所以，所以，

所以

所以

所以在上是減函數，

因為，所以，

所以

所以實數的取值范圍為

（3）由題意對任意，存在使成立，

則，由（1）知，當時，單調遞增，

所以，

又 ，

令 ，則 ，

所以恒成立，

所以或者恒成立在上，

即或者

令，則在上單調遞增，所以

所以，即

令，函數在單調遞減，在單調遞增，

，

所以

所以

即

綜上所述，存在或，對任意，存在使成立.