Question

已知等差數列{a_n}為遞增數列，滿足a32=5a1+5a5-25，在等比數列{b_n}中，b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式b_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：數列{Sn+

5

4

}是等比數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據a32=5a1+5a5-25，利用等差數列的性質，可得a₃=5，利用b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13，可求等差數列{a_n}的公差，等比數列{b_n}的公比，從而可得數列{b_n}的通項公式b_n；
（Ⅱ）S_n=

5 4 (1-2n)

1-2

=

5

4

•2n-

5

4

，從而Sn+

5

4

=

5

4

•2n，利用等比數列的定義可得結論．

解答：（Ⅰ）解：∵a32=5a1+5a5-25
∴a32=10a3-25
∴(a3-5)2=0
∴a₃=5
設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，則
∵b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13，
∴(a3+5)2=（a₂+2）（a₄+13）
∴100=（7-d）（18+d）
∴d²+11d-26=0
∴d=2或d=-13（數列遞增，舍去）
∴b₃=a₂+2=5，b₄=a₃+5=10，
∴q=2
∴b_n=b₃q^n-3=5•2^n-3；
（Ⅱ）證明：S_n=

5 4 (1-2n)

1-2

=

5

4

•2n-

5

4

∴Sn+

5

4

=

5

4

•2n
∴

Sn+1+ 5 4

Sn+ 5 4

=

5 4 •2n+1

5 4 •2n

=2
∴數列{Sn+

5

4

}是以

5

2

為首項，2 為公比的等比數列．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查等比數列的通項，等比數列關系的證明，確定公比是關鍵．