Question

已知等差數列{a_n}前三項的和為-3，前三項的積為8．
（1）若a₂，a₃，a₁成等比數列，求數列{|a_n|}的前n項和．
（2）若a₂，a₃，a₁不成等比數列，求數列{

1

anan+1

}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）由等差數列通項公式即可得出a_n；利用等比數列的定義可判定a₂，a₃，a₁是否成等比數列，通過對a_n與0的大小關系分類討論，
即可得出數列{|a_n|}的前n項和為S_n．
（2）利用“裂項求和”即可得出．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
由題意得

3a1+3d=-3 a1(a1+d)(a1+2d)=8

 解得

a1=2 d=-3

或

a1=-4 d=3

．
∴a_n=2-3（n-1）=-3n+5或a_n=-4+3（n-1）=3n-7．
當a_n=3n-7時，a₂，a₃，a₁分別為-1，2，-4，成等比數列，滿足條件．
設數列{|a_n|}的前n項和為S_n．
∴當n=1，2時，|a_n|=7-3n，Sn=

n(4+7-3n)

2

=-

3

2

n2+

11

2

n；
當n≥3時，|a_n|=3n-7，
S_n=-a₁-a₂+a₃+a₄+…+a_n
=5+

(n-2)(2+3n-7)

2

=

3

2

n2-

11

2

n+10，
綜上可得：|a_n|=|7-3n|=

-3n+7，n=1，2 3n-7，n≥3

Sn=

- 3 2 n2+ 11 2 n，n=1，2 3 2 n2- 11 2 n+10，n≥3

（2）當a_n=-3n+5時，a₂，a₃，a₁分別為-1，-4，2，不成等比數列．

1

anan+1

=

1

(3n-5)(3n-2)

=

1

3

(

1

3n-5

-

1

3n-2

)，
∴Tn=

1

3

[(-

1

2

-1)+(1-

1

4

)+…+(

1

3n-5

-

1

3n-2

)]
=

1

3

[-

1

2

-

1

3n-2

]
=

n

-6n+4

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的定義通項公式與前n項和公式、含絕對值符號的數列的求和問題、分類討論、“裂項求和”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．