Question

設函數f（x）=-

x

1+丨x丨

（x∈R），集合N={y丨y=f（x），x∈M}，其中M=[a，b]（a＜b），則使M=N成立的實數對（a，b）有（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、無數多個

Answer 1

考點：集合的相等

專題：集合

分析：由已知條件推導出f（x）是一個奇函數，且f（x）在R上是減函數，所以a=-

b

1+|b|

，b=-

a

1+|a|

，解得a=b=0，與已知條件a＜b矛盾，故使M=N成立的實數對（a，b）不存在．

解答：解：∵f（x）=-

x

1+丨x丨

，
∴f（-x）=-

-x

1+|-x|

=

x

1+|x|

=-f（x），
∴f（x）是一個奇函數，
x≥0時，f（x）=-

x

1+x

=

-x-1+1

x+1

=-1+

1

x+1

，是減函數
∴f（x）在R上是減函數，
∵x∈[a，b]
∴值域是[f（b），f（a）]，
即a=f（b），b=f（a）
∴a=-

b

1+|b|

，b=-

a

1+|a|

，
解得a=b=0，與已知條件a＜b矛盾，
∴使M=N成立的實數對（a，b）不存在．
故選：A．

點評：本題考查集合相等的應用，解題時要認真審題，是基礎題．