Question

已知數列的前n項和，數列的前n項和，，
（1）求，的通項公式；
（2）設，是否存在正整數,使得對恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）①，，  ，。
（2）存在正整數3，使得對恒成立。

本題考查等差數列和等比數列的通項公式的和對數的運算法則，特別是問題（2）的設置有新意，關鍵是恒等式的解題方法（對應系數相等）是解題的關鍵，屬中檔題．
（1）根據前n項和與通項公式的關系可知
①時，；；綜上，，
②由，，（）兩式相減得
即，；由得，
∴是以為首項，公比為的等比數列，，得到結論。
（2）因為，那么利用定義判定單調性，進而得到最值。
解：（1）①時，；；綜上，，
②由，，（）兩式相減得
即，；由得，
∴是以為首項，公比為的等比數列，，。
（2），
∴時，， ，即；
時，，，即
∴的最大項為，即存在正整數3，使得對恒成立。