Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n和1的等差中項，等差數列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=S₃．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設cn=

1

bnbn+1

，數列{c_n}的前n項和為T_n，證明：

1

3

≤Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，S_n=2a_n-1，結合遞推公式a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得

an

an-1

=2，結合等比數列的通項公式可求由b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，可求公差d，進而可求b_n，
（2）由cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和可求T_n，然后結合數列的單調性可證

解答：解：（1）∵a_n是S_n和1的等差中項，∴S_n=2a_n-1…（1分）
當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1…（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，即 

an

an-1

=2…（3分）
∴數列{a_n}是以a₁=1為首項，2為公比的等比數列，
∴an=2n-1，Sn=2n-1…（5分）
設{b_n}的公差為d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2…（7分）
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（2）cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（9分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（10分）
∵n∈N^*，∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（11分）Tn-Tn-1=

n

2n+1

-

n-1

2n-1

=

1

(2n+1)(2n-1)

＞0
∴數列{T_n}是一個遞增數列                                           …（12分）
∴Tn≥T1=

1

3

．…（13分）
綜上所述，

1

3

≤Tn＜

1

2

…（14分）

點評：本題主要考查了等差數列與等比數列的通項公式的應用，數列的遞推公式的應用及數列的裂項求和及數列的單調性在數列的最值求解中的應用