Question

已知α為銳角，且tanα=

2

-1，函數f（x）=2xtan2α+sin（2α+

π

4

），數列{a_n}的首項a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若數列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n=log₂（a_n+1），設T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

，若T_n＞m對x≥2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與三角函數的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列,三角函數的求值

分析：（1）由α為銳角，且tanα=

2

-1可求得tan2a=

2tanα

1-tan2α

=1，2a=

π

4

，從而求出函數f（x）的表達式；
（2）由題意，a_n+1+1=2（a_n+1），則數列{a_n+1}的首項為2，公比為2的等比數列，從而求出b_n=log₂（a_n+1）=n，判斷T_n的單調性求最小值即可．

解答： 解：（1）∵tanα=

2

-1，
∴tan2a=

2tanα

1-tan2α

=1，
又∵α為銳角，
∴2a=

π

4

，
∴sin（2α+

π

4

）=sin

π

2

=1，
∴f（x）=2x+1；
（2）∵a_n+1=f（a_n）=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁=1，
∴數列{a_n+1}的首項為2，公比為2的等比數列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，
∴T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

=

1

1+n

+

1

2+n

+…+

1

2n

，

而T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞0，
所以n≥2時，T₂取得最小值，
則若T_n＞m對n≥2恒成立可化為
T₂＞m，又∵T₂=

7

12

，
則m＜

7

12

．

點評：本題考查了三角函數的求值及等差數列與等比數列的化簡與求值，同時考查了數列的單調性的判斷，屬于中檔題．