Question

已知S_k為數列{a_n}的前k項和，且S_k+S_k+1＝a_k+1(k∈N₊)．那么此數列是

1. A.
   單調增數列
2. B.
   單調減函數
3. C.
   常數列
4. D.
   擺動數列

Answer 1

C
解：∵S_k+S_k+1＝a_k+1(k∈N+)，∴S_k-1+S_k＝a_k(k≥2)．兩式相減，得a_k+a_k+1＝a_k+1-a_k．∴a_k＝0(k≥2)．
而當k＝1時，原式為S₁₊S₂＝a₂．
∴a₁₊(a₁₊a₂)＝a₂，∴2a₁＝0，∴a₁＝0．
從而a_n＝0(n∈N+)．即數列{a_n}為常數列，故選C．
分析：判斷數列的單調性，需要求出數列的通項公式，可以考慮用a_n＝S_n-S_n-1(n≥2)來解決．
點評：(1)本題是一個判斷數列單調性的題目．一般情況下，要根據數列的通項公式，依據單調性的定義去判斷．只不過，本題的通項公式很特殊罷了．(2)解題時，不要忽略對n≥2的討論．