Question

已知函數f（x）=x²+x．
（1）數列{a_n}滿足a₁＞0，a_n+1=f'（a_n），若

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

對任意n∈N₊恒成立，求a₁的取值范圍；
（2）數列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=f（b_n），n∈N₊，記Cn=

1

1+bn

，S_k為數列{c_n}前k項和，T_k為數列{c_n}的前k項積，求證：

T1

S1+T1

+

T2

S2+T2

+…+

Tn

Sn+Tn

＜

7

10

．

Answer 1

分析：（1）根據題意得到a_n+1=2a_n+1，利用構造新數列的方法求出a_n+1=（a₁+1）2^n-1，進而得到

1

1+an

=

1

1+a1

(

1

2

)n-1，再求和整理可得a1＞3-

1

2n-2

即可得到答案．
（2）由b_n+1=b_n（b_n+1）即可得到Cn=

1

1+bn

=

bn

bn+1

，進而得到T_n=

b1

bn+1

，SK=1-

1

bk+1

，利用放縮法得到

1

bk+1

＜

1

bk2

，進一步利用放縮法得到

n

k=1

Tk

Sk+Tk

=

n

k=1

1

bk+1

＜

1

2

+

1

6

+

1

62

+

1

64

+…+

1

62n-2

，即可得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：函數f（x）=x²+x，
所以f′（x）=2x+1，
所以a_n+1=2a_n+1，即a_n+1+1=2（a_n+1），
所以{a_n+1}為等比數列，并且a_n+1=（a₁+1）2^n-1
所以

1

1+an

=

1

1+a1

(

1

2

)n-1
即有

n

i=1

1

1+ai

=

1

1+a1

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=

2- 1 2n-1

1+a1

＜

1

2

對任意n∈N₊恒成立，
即有a1＞3-

1

2n-2

對任意n∈N₊恒成立，
故a₁≥3．
（2）由題意可得：函數f（x）=x²+x，
所以b_n+1=f（b_n）=b_n（b_n+1）
所以Cn=

1

1+bn

=

bn

bn+1

所以Tn=

b1

b2

•

b2

b3

…

bn

bn+1

=

b1

bn+1

，
又由b_n+1=b_n（b_n+1）得

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，
所以Cn=

1

bn

-

1

bn+1

，SK=1-

1

bk+1

，
因為b₁=1，b_k+1=b_k（b_k+1），所以b_k+1＞b_k²，即有

1

bk+1

＜

1

bk2

又因為b₁=1，b₂=2，b₃=6，
所以

n

k=1

Tk

Sk+Tk

=

n

k=1

1

bk+1

＜

1

2

+

1

6

+

1

62

+

1

64

+…+

1

62n-2

＜

1

2

+

1 6

1- 1 6

=

7

10

．

點評：解決此類問題的關鍵是數列掌握求數列通項與數列求和的方法，而在證明不等式或者證明不等式恒成立等問題時最常用的方法是放縮法．