Question

22.已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和S_n滿足S₁＞1，且

(Ⅰ)求｛a_n｝的通項公式；

(Ⅱ)設數列｛b_n｝滿足并記T_n為｛b_n｝的前n項和，求證：

Answer 1

(Ⅰ)解：由，解得a₁＝1或a₁＝2，由假設a₁＝S₁＞1，因此a₁＝2。

又由a_n+1＝S_n+1- S_n＝，

得

得a_n+1- a_n-3＝0或a_n+1＝-a_n

因a_n＞0，故a_n+1＝-a_n不成立，舍去。

因此a_n+1- a_n＝3。從而｛a_n｝是公差為3，首項為2的等差數列，故｛a_n｝的通項為a_n＝3n-1。

(Ⅱ)證法一：由可解得

；

從而。

因此。

令,則

。

因，故

.

特別的。從而，

即。

證法二：同證法一求得b_n及T_n。

由二項式定理知當c＞0時，不等式

成立。

由此不等式有

＝。

證法三：同證法一求得b_n及T_n。

令A_n＝，B_n＝，C_n＝。

因，因此。

從而

＞。