Question

從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高，測量發現被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155，160）、第二組[160，165）；…第八組[190，195]，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數相同，第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列．
（1）估計這所學校高三年級全體男生身高180cm以上（含180cm）的人數；
（2）求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖；
（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x、y，求滿足|x-y|≤5的事件概率．

Answer 1

（1）由頻率分布直方圖知，前五組頻率為（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三組頻率為1-0.82=0.18，人數為0.18×50=9人（2分）
這所學校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人數為800×0.18=144人（4分）
（2）由頻率分布直方圖得第八組頻率為0.008×5=0.04，人數為0.04×50=2人，
設第六組人數為m，則第七組人數為9-2-m=7-m，又m+2=2（7-m），所以m=4，
即第六組人數為4人，第七組人數為3人，頻率分別為0.08，0.06，（6分）
頻率除以組距分別等于0.016，0.012，見圖（8分）
（3）由（2）知身高在[180，185]內的人數為4人，設為a，b，c，d．身高在[190，195]的人數為2人，設為A，B．
若x，y∈[180，185]時，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六種情況．
若x，y∈[190，195]時，有AB共一種情況．
若x，y分別在[180，185]，[190，195]內時，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8種情況
所以基本事件的總數為6+8+1=15種（12分）
事件|x-y|≤5所包含的基本事件個數有6+1=7種，故P(|x-y|≤5)=

7

15

（14分）