Question

【題目】已知拋物線，過點作斜率為的直線與拋物線交于不同的兩點，．

（1）求的取值范圍；

（2）若為直角三角形，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）或 （2）

【解析】

（1）設直線的方程，聯立直線和拋物線的方程得，解即可；

（2）結合韋達定理，計算的坐標表示即可.

解：（1）由題意，設直線方程為，

聯立方程組，消去得，

要使直線與拋物線交于不同的兩點，，則，

即，

解得或，

綜上，的取值范圍為或.

（2）設，，由（1）可知，是的兩個根，

則，，

法一：因為為直角三角形，且，

所以，即，

因為

，

所以有，

解得或，

當時，直線過原點，，，不能夠構成三角形，

所以.

法二：因為為直角三角形，且，

所以，即，

因為，所以，

因為，所以，

即，解得，

此時滿足（1）中的取值范圍，所以.