Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側棱底面，為棱的中點，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由線面垂直的性質可得，由正方形的性質可得 ，由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得結果；（Ⅱ）正方形中，側棱底面，以為軸建立坐標系，求出，利用向量垂直數量積為零列方程求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結果；（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，則 為平面的法向量，結合（Ⅱ），由空間向量夾角余弦公式可得結果.

（Ⅰ）因為底面底面 ，

所以，正方形中, ，

又因為， 所以平面，

因為平面，所以．

（Ⅱ）正方形中，側棱底面.

如圖建立空間直角坐標系，不妨設.

依題意，則，所以 .

設平面的法向量，

因為，所以，

令，得 ，即，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為 ；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以 為平面的法向量，

因為， 且二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為 ．