Question

已知m∈R，直線l：mx-（m²+1）y=4m和圓C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）求直線l斜率的取值范圍；
（2）直線l能否將圓C分割成弧長的比值為

1

2

的兩段圓弧？為什么？

Answer 1

分析：（1）寫出直線的斜率利用基本不等式求最值；
（2）直線與圓相交，注意半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形

解答：解：
（1）直線l的方程可化為y=

m

m2+1

x-

4m

m2+1

，此時斜率k=

m

m2+1

，
即km²-m+k=0，∵△≥0，∴1-4k²≥0，
所以，斜率k的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．

（2）不能．由（1知l的方程為y=k（x-4），其中|k|≤

1

2

；
圓C的圓心為C（4，-2），半徑r=2；圓心C到直線l的距離d=

2

1+k2

由|k|≤

1

2

，得d≥

4

5

＞1，即d＞

r

2

，
從而，若l與圓C相交，則圓C截直線l所得的弦所對的圓心角小于

2π

3

，
所以l不能將圓C分割成弧長的比值為

1

2

的兩段弧．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓及不等式知識的綜合應(yīng)用．
高考考點(diǎn)：直線與圓及不等式知識的綜合應(yīng)用
易錯點(diǎn)：對有關(guān)公式掌握不到位而出錯．
全品備考提示：本題不是很難，但需要大家有扎實(shí)的功底，對相關(guān)知識都要受熟練掌握．