Question

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為,構(gòu)成一個(gè)三棱錐．

（1）請(qǐng)判斷與平面的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）證明平面；
（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）平行；（2）證明和即可；（3）

解析試題分析：本題考查空間想象能力，在折疊過程中，找到不變的量是求解的關(guān)鍵.（1）由中位線定理，可證明平行；（2）證明和即可；（3）注意到三角形MEF、BEF都是等腰三角形，因此，取EF的中點(diǎn)即可求出二面角.
試題解析：（1）平行平面
證明：由題意可知點(diǎn)在折疊前后都分別是的中點(diǎn)（折疊后兩點(diǎn)重合）
所以平行,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ee/8/1wbtd2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平行平面.
（2）證明：由題意可知的關(guān)系在折疊前后都沒有改變.
因?yàn)樵谡郫B前，由于折疊后，點(diǎn)，所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e9/e/1bovj3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面.
（3）解：

所以是二面角的平面角.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2d/e/w81r81.png" style="vertical-align:middle;" />⊥，所以.
在中，，由于，所以，
于是.
所以，二面角的余弦值為.
考點(diǎn)：1、線面平行；2、線面垂直的判定；3、二面角的概念及其求法.