Question

如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）

解析試題分析：1.本題的模型是長(zhǎng)方體，因此采用坐標(biāo)法不失為一個(gè)好的選擇.2.本題也可以采用幾何法的方式進(jìn)行求解.（Ⅰ）如圖，連接，交于，可以證明四邊形是平行四邊形，從而，進(jìn)而可以證明平面.（Ⅱ）過(guò)作于，因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8f/4/1twlc2.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，可以證明平面，從而即為所求角.接下來(lái)解之即可.第（Ⅱ）問(wèn)也可以用等積的辦法來(lái)求解．

試題解析：（Ⅰ）證明：在長(zhǎng)方體中，
∵，，∴.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)題意得，，，，，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為.
∴，  .∴.
∵平面，平面，∴.
∴平面.
（Ⅱ）解：，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)已知得
 取，得
∴是平面的一個(gè)法向量.
∴.
∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值等于.
考點(diǎn)：空間線(xiàn)面位置關(guān)系、線(xiàn)面平行、線(xiàn)面角的求法.