Question

【題目】已知點F為拋物線E：x2=4y的焦點，直線l為準線，C為拋物線上的一點（C在第一象限），以點C為圓心，|CF|為半徑的圓與y軸交于D，F兩點，且△CDF為正三角形．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設P為l上任意一點，過P作拋物線x2=4y的切線，切點為A，B，判斷直線AB與圓C的位置關系．

Answer 1

【答案】解：（I）由已知F（0，1），設圓C的半徑為r， 因為△CDF為正三角形，C（ r，|r﹣1|），
因為點C在拋物線x2=4y上，
得 r2=4r﹣4 即3r2﹣16r+16=0，
解得r=4或r=
所以圓C的方程為C1：（x﹣2 ）2+（y﹣3）2=16，
或C2：（x﹣ ）2+（y﹣ ）2=
（II）（方法一）
因為準線l為y=﹣1，設P（t，﹣1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
因為y= ，所以y′= ，
A（x1 ， y1）為切點的切線方程為：y﹣y1= （x﹣x1），y1= ，即y= x﹣y1 ，
因為切線過P（t，﹣1），得﹣1= t﹣y1 ， ①
同理可得﹣1= t﹣y2 ， ②
所以直線AB方程為﹣1= xt﹣y，即tx﹣2y+2=0，
圓心C1（2 ，3），r1=4，C1到直線距離d1=
可得d12﹣16= ≤0
所以t=﹣2 時，d1=4，直線AB與圓C1相切．
t≠﹣2 時，d1＜4直線AB與圓C1相交．
所以直線AB與圓C2相交或相切．
同理可證，直線AB與圓C2相交或相切．
所以直線AB與圓C1 ， C2相交或相切．
（注：因為直線AB過定點f（0，1），且斜率 ∈R
因為F（0，1）在圓C1 ， C2相上，所以直線AB與圓C1 ， C2相交或相切．這樣答扣1分）
（方法二）設設P（t，﹣1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線E的方程得x2﹣4kx﹣4b=0 所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
因為y= ，所以y′= ，
A（x1 ， y1）為切點的切線方程為：y﹣y1= （x﹣x1），y1= ，即y= x﹣ ，①
B（x2 ， y2）為切點的切線方程為y= x﹣ ②
聯立①②得
所以 所以 ，
所以直線AB方程為y= xt+1，
以下與（方法一）相同
【解析】（Ⅰ）求出點C的坐標，再代入到拋物線的解析式中求出半徑，問題得以解決；（Ⅱ）設P（t，﹣1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根據導數和幾何意義，求出A，B為切點的切線方程，即可得到直線AB的方程，再利用點到直線的距離，和半徑的關系判斷直線和圓的位置關系．