Question

（2013•鹽城一模）D．（選修4-5：不等式選講）
設a₁，a₂，…a_n 都是正數(shù)，且 a₁•a₂…a_n=1，求證：（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥2ⁿ．

Answer 1

分析：根據(jù)基本不等式，得1+a₁≥2

a1

，1+a₂≥2

a2

，…，1+a_n≥2

an

．再由不等式的各項都大于0，將此n個不等式左右兩邊對應相乘，結合a₁•a₂…a_n=1即可證出要證明的不等式成立．

解答：解：∵a₁＞0，∴根據(jù)基本不等式，得1+a₁≥2

a1

同理可得，1+a₂≥2

a2

，1+a₃≥2

a3

，…，1+a_n≥2

an

注意到所有的不等式的兩邊都是正數(shù)，將這n個不等式的左右兩邊對應相乘，得
（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）≥2ⁿ•

a1a2a3…an

∵a₁•a₂…a_n=1，
∴（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）≥2ⁿ•1=2ⁿ，即原不等式成立．

點評：本題給出n個正數(shù)a₁、a₂、…a_n，求證關于a₁、a₂、…a_n 的一個不等式恒成立．著重考查了不等式的基本性質和運用基本不等式證明不等關系成立的知識，屬于中檔題．