Question

【題目】設，是拋物線上的兩個不同的點，是坐標原點．若直線與的斜率之積為，則（ ）．

A.B.以為直徑的圓的面積大于

C.直線過定點D.點到直線的距離不大于2

Answer 1

【答案】CD

【解析】

通過軸時的特殊情況，判斷A、B選項不正確；當直線與軸不垂直時，設直線方程，通過推理論證，得出直線過定點，進而得出點到直線的距離最大值即為O、Q兩點間的距離，進而得出CD正確.

不妨設為第一象限內的點，

①當直線軸時，，由，

得，，

所以直線，的方程分別為：和．

與拋物線方程聯立，得，，

所以直線的方程為，此時，

以為直徑的圓的面積，故A、B不正確．

②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，

與拋物線方程聯立消去，得，則．

設，，則．

因為，所以，

則，則，

所以，即，

所以直線的方程為，即．

綜上可知，直線為恒過定點的動直線，故C正確；

易知當時，原點到直線的距離最大，最大距離為2，

即原點到直線的距離不大于2．故D正確．

故選：CD