Question

【題目】如圖，拋物線的焦點到準線的距離與橢圓的長半軸相等，設橢圓的右頂點為，在第一象限的交點為，為坐標原點，且的面積為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過點的直線交拋物線于兩點．

①求證：恒為鈍角；

②射線分別交橢圓于兩點，記的面積分別是，問是否存在直線，使得?若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；② 存在，．

【解析】

試題分析：（1）由 ．又．將點代入橢圓方程橢圓為；（2）①設直線的方程

，

恒為鈍角；②．由的斜率為：．由和

所求直線為．

試題解析： （1）由，可得橢圓的長半軸．

∵，∴，代入拋物線求得．

將點代入橢圓，可得，

所以橢圓為．

（2）①設直線的方程為，由得．

設，，則，，

∴，∴恒為鈍角；

②．

因為直線的斜率為，所以直線的方程為．

由得，同理，

∴，

∴，

解之得：，所以所求直線為．