Question

已知圓的方程為,直線過點,且與圓相切.
(1)求直線的方程;
(2)設圓與軸交于兩點,是圓上異于的任意一點,過點且與軸垂直的直線為,直線交直線于點,直線交直線于點.求證:的外接圓總過定點,并求出定點坐標.

Answer 1

(1)或 
(2)過定點和  

試題分析：(1)設直線的方程為,即.
直線與圓相切,圓心到直線的距離.
解得. 直線的方程為,
即或                  ……………4分
(2)設直線,
,故直線
令,可得.                       ………6分
,故的外接圓即以為直徑的圓.
該圓的方程為
即                       ……………8分
由此可知,無論為何值,當時,總有
故該圓必過定點和               ………10分
點評：解決該試題的關鍵是利用線與圓的位置關系，結合點到直線的距離公式，得到直線方程，同時利用線線的垂直關系，得到點的坐標，來分析定點。體現了解析幾何中運用代數的思想解決解析幾何的本質，屬于中檔題。