Question

已知函數f(x)=log_a(a^x-1)(a＞0且a≠1)，
(1)求f(x)的定義域；
(2)討論f(x)的單調性；
(3)x為何值時，函數值大于1。

Answer 1

解：(1)f(x)=log_a(a^x-1)有意義，應滿足a^x-1＞0，即a^x＞1，
當a＞1時，x＞0；
當0＜a＜1時，x＜0；
因此，當a＞1時，函數f(x)的定義域為{x|x＞0}；
當0＜a＜1時，函數f(x)的定義域為{x|x＜0}．
(2)當a＞1時，y=a^x-1為增函數，因此y=log_a(a^x-1)為增函數；
當0＜a＜1時，y=a^x-1為減函數，因此y=log_a(a^x-1)為增函數；
綜上所述，y=log_a(a^x-1)為增函數；
(3)當a＞1時，f(x)＞1，即a^x-1＞a，
∴a^x＞a+1，∴x＞log_a(a+1)；
當0＜a＜1時，f(x)＞1，即0＜a^x-1＜a，
∴1＜a^x＜a+1，∴log_a(a+1)＜x＜0。