Question

【題目】在四棱錐中，底面為矩形，平面，，.以為直徑的球與交于點（異于點），則四面體外接球半徑______.

Answer 1

【答案】

【解析】

過點作的垂線，垂足即為，可求出，易證平面，從而可得到平面平面，分別取，的中點，，可得，平面，由是直角三角形，可知直線上任意一點到三個頂點的距離相等，作線段的垂直平方線，垂足為，交于點，則點為三角形的外接圓圓心，且為四面體外接球球心，由正弦定理可求得三角形的外接圓半徑，即為所求外接球半徑，求解即可.

由題意，平面，底面為矩形，，，

可得，，，

過點作的垂線，垂足即為，

，所以，，

因為，，，所以平面，

則，，即.

因為平面，平面，所以平面平面，

分別取，的中點，，則，平面，

因為是直角三角形，所以直線上任意一點到三個頂點的距離相等，

作線段的垂直平方線，垂足為，交于點，則到三個頂點的距離都相等，即四面體外接球球心為，且的外接圓圓心為，

中，，

由正弦定理，，即的外接圓半徑為，四面體外接球半徑.

故答案為：.