Question

【題目】已知拋物線過焦點且平行于軸的弦長為.點，直線與交于兩點，

（1）求拋物線的方程；

（2）若不平行于軸，且為坐標原點），證明:直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）定點，證明見解析

【解析】

(1)求得拋物線的焦點,可得過且平行于軸的直線為,代入拋物線的方程,可得弦長,解方程可得,即可得到所求拋物線的方程;

(2)設直線的方程為,聯立拋物線方程,設，通過韋達定理以及斜率關系，以及直線關于軸對稱，可得它們的斜率之和為,求出直線系方程,即可得到定點.

（1）拋物線過焦點且平行于軸的直線為，

代入拋物線的方程可得,即,則,即,

可得拋物線的方程為.

（2）證明：設直線的方程為，聯立拋物線方程,

可得,

設可得，

為坐標原點），可得直線關于軸對稱,

即有，由,可得,

即,即 ,.

由,可得,

則直線的方程為,則直線恒過定點.