Question

已知矩形ABCD的邊AB=4cm，BC=3cm，如圖所示，矩形的頂點(diǎn)A，B為某一橢圓的兩個焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過矩形的另外兩個頂點(diǎn)C，D，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：由題意建立直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意知2a=AC+BC，求得a，進(jìn)而根據(jù)b，a和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．

解答：解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立坐標(biāo)系，
由題意可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-2，0），（ 2，0），（ 2，3）．
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
則2a=AC+BC，
即2a=5+3=8，所以a=4．
所以b²=a²-c²=16-4=12．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

16

+

y2

12

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．