Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0），上的點M（1，m）到其焦點F的距離為2，
（1）求C的方程；并求其準線方程；
（2）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點，且直線OA與L的距離等于 ？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線y2=2px（p＞0）的準線方程為x=﹣ ，

由拋物線的定義可知：|MF|=1﹣（﹣ ）=2，解得p=2，

因此，拋物線C的方程為y2=4x；其準線方程為x=﹣1．

（2）解：假設存在符合題意的直線l，其方程為y=﹣2x+t，（OA的方程為：y=﹣2x）

由 ，得y2+2 y﹣2 t=0．

因為直線l與拋物線C有公共點，所以得△=4+8 t，解得t≥﹣1/2．

另一方面，由直線OA與l的距離d= ，可得 ，解得t=±1．

因為﹣1[﹣ ，+∞），1∈[﹣ ，+∞），所以符合題意的直線l 存在，其方程為2x+y﹣1=0．

【解析】（1）由拋物線的定義可知：|MF|=1﹣（﹣ ）=2，解得p=2，則拋物線方程可得，進而根據拋物線的性質求得其準線方程．（2）先假設存在符合題意的直線，設出其方程，與拋物線方程聯立，根據直線與拋物線方程有公共點，求得t的范圍，利用直線AO與L的距離，求得t，則直線l的方程可得．