Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．
（I）求橢圓的方程；
（II）過定點M（m，0）（-2＜m＜2，m≠0為常數(shù)）作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交于不同的兩點A．B，問在x軸上是否存在一點N，使直線NA與NB的傾斜角互補？若存在，求出N點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）直接利用長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線列出關(guān)于a，b，c的方程，再求出a，b，c即可求出橢圓的方程；
（II）把 直線方程與橢圓方程聯(lián)立求出點A．B的坐標和點N的坐標之間的關(guān)系，再結(jié)合直線NA與NB的傾斜角互補的對應結(jié)論k_NA+k_NB=0，即可求出N點坐標．

解答：解：（Ⅰ）依題意得

a=2c a2 c =4

解之得

a=2 c=1

從而b=

3

．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                          …（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-m），
聯(lián)立方程得

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-m)

消去y得（3+4k²）x²-8mk²x+4k²m²-12=0，…（6分）
∵△=64m²k⁴-16（k²m²-3）（3+4k²）=48k²（4-m²）+144＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（n，0），
則x1+x2=

8mk2

3+4k2

，x1x2=

4k2m2-12

3+4k2

，（*）
因為直線NA與NB的傾斜角互補等價于k_NA+k_NB=0，…（8分）
所以

y1

x1-n

+

y2

x2-n

=0，即

k(x1-m)

x1-n

+

k(x2-m)

x2-n

=0，…（9分）
即2x₁x₂-（m+n）（x₁+x₂）+2mn=0，
將（*）式代入上式得

8m2k2-24

3+4k2

-

(m+n)×8mk2

3+4k2

+2mn=0，
整理得mn=4，∵m≠0，∴n=

4

m

，所以，N點存在，且坐標為(

4

m

，0)，
因此，存在點N(

4

m

，0)使得直線NA與NB的傾斜角互補．      …（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決這一類型題目的常用方法是：把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，求出直線與圓錐曲線交點之間的關(guān)系；再結(jié)合其它條件來求對應結(jié)論．