Question

【題目】已知數列{an}，{bn}滿足：a1＝3，當n≥2時，an﹣1+an＝4n；對于任意的正整數n，．設{bn}的前n項和為Sn．

（1）求數列{an}及{bn}的通項公式；

（2）求滿足13＜Sn＜14的n的集合．

Answer 1

【答案】(1) an＝2n+1；bn＝（4n﹣1）（）n﹣1；(2) {n|n＝1，2或n≥5且n∈N}．

【解析】

（1）求得a2，a3，將an﹣1+an＝4n中的n換為n﹣1，相減可得數列{an}的奇數項以3為首項，2為公差的等差數列，可得an，再將n換為n﹣1，相減可得bn；

（2）運用數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，可得Sn，解不等式可得所求集合．

（1）a1＝3，當n≥2時，an﹣1+an＝4n，

可得a1+a2＝8，即有a2＝5，a2+a3＝12，即有a3＝7，

由n≥3時，an﹣2+an﹣1＝4n﹣4，又an﹣1+an＝4n，

相減可得an﹣an﹣2＝4，

可得數列{an}的奇數項以3為首項，4為公差的等差數列，偶數項以5為首項，4為公差的等差數列，

則數列{an}以3為首項，2為公差的等差數列，

可得an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；

當n＝1時，b1＝a1＝3；

n≥2時，b1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，又．

相減可得2n﹣1bn＝n（2n+1）﹣（n﹣1）（2n﹣1）＝4n﹣1，

則bn＝（4n﹣1）（）n﹣1；

（2）前n項和為Sn＝31+711（4n﹣1）（）n﹣1，

Sn＝3711（4n﹣1）（）n，

相減可得Sn＝3+4（（）n﹣1）﹣（4n﹣1）（）n

＝3+4（4n﹣1）（）n，

化簡可得Sn＝14﹣（4n+7）（）n﹣1．

13＜Sn＜14，即為13＜14﹣（4n+7）（）n﹣1＜14，

可得4n﹣7＜2n﹣1，

則n＝1，2，上式成立；n＝3，4，上式不成立；

n≥5且n∈N，上式均成立，

則所求n的集合為{n|n＝1，2或n≥5且n∈N}．