Question

已知f（x）=x²-2x-ln（x+1）²．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）若函數F（x）=f（x）-x²+3x+a在[

1

2

，2]上只有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數零點的判定定理

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0
（2）先求出F（x）=x-ln（x+1）²+a，再求導，討論其單調性，得到

F( 1 2 )≥0 F(2)＜0

或F（1）=0，繼而求出范圍．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為x|x≠-1}，
∴f′（x）=2x-2-

2

x+1

=

2(x2-2)

x+1

，
令f′（x）=0，解得x=±

2

，且x≠-1，
當f′（x）＞0是，得-

2

＜x＜-1，或x＞

2

，
∴f（x）的單調遞增區間是得（-

2

，-1），和（

2

，+∞），
（2）由已知得F（x）=x-ln（x+1）²+a，
∴F′（x）=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

∴當x＜-1，或x＞1時，F′（x）＞0，當-1＜x＜1，F′（x）＜0，
∴當x∈[

1

2

，1]，F′（x）＜0，此時F（x）單調遞減，
當x∈[1，2]，F′（x）＞0，此時F（x）單調遞增，
∴F（

1

2

）=

1

2

-ln（

1

2

+1）²+a＞a，F（2）=2-2ln3+a＜a
∴F（

1

2

）＞F（2）
∵函數F（x）=f（x）-x²+3x+a在[

1

2

，2]上只有一個零點，
∴

F( 1 2 )≥0 F(2)＜0

或或F（1）=0，
解得

1

2

-2ln2≤a≤2ln3-2，或a=2ln2-1，
故實數a的取值范圍．

1

2

-2ln2≤a≤2ln3-2，或a=2ln2-1，

點評：本題主要考查了二次函數在閉區間上的最值，以及二次函數的單調性和零點問題，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．