Question

已知函數f（x）=2xlnx．
（1）求單調區間和最小值；
（2）若對x≥1，都有函數f（x）的圖象總在直線y=ax-2的上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，得x=

1

e

．由此能求出f（x）的單調區間和最小值．
（2）由已知條件推導出2xlnx＞ax-2對?x≥1恒成立，所以a＜

2xlnx+2

x

=2lnx+

2

x

=g（x），由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=2xlnx，
∴x＞0，f′（x）=2lnx+2，
令f′（x）=0，得x=

1

e

．
當0＜x＜

1

e

時，f′（x）＜0；當x＞

1

e

時，f′（x）＞0．
∴f（x）的減區間是（0，

1

e

），增區間是（

1

e

，+∞）．
∴x=

1

e

時，f（x）有最小值f（

1

e

）=

2

e

ln

1

e

=-

2

e

．
（2）∵對x≥1，都有函數f（x）的圖象總在直線y=ax-2的上方，
∴2xlnx＞ax-2對?x≥1恒成立，
∴a＜

2xlnx+2

x

=2lnx+

2

x

=g（x），
∴g′(x)=

2(x-1)

x2

≥0，
∴g（x）在[1，+∞）單調遞增，
∴g（x）_min=g（1）=2，
∴a＜2，即a的取值范圍是（-∞，2）．

點評：本題考查函數的單調區間和最小值的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．