Question

17．四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F為BE中點．CE=2，AB=2．
（1）求證：DE∥平面ACF；
（2）求三棱錐E-ACF的體積．
（3）求二面角B-CD-F的大小．

Answer 1

分析 （1）連接OF．由四邊形ABCD是正方形可知，點O為BD中點．由三角形的中位線的性質可得OF∥DE．再由線面平行的判定可得DE∥平面ACF；
（2）利用等積法求三棱錐E-ACF的體積；
（3）由EC⊥底面ABCD，結合底面為正方形可得DC⊥BC，DC⊥CF，從而得到∠BCF為二面角B-CD-F的平面角，則二面角B-CD-F的大小可求．

解答 （1）證明：連接OF．
由四邊形ABCD是正方形可知，點O為BD中點．
又F為BE 中點，∴OF∥DE．
又OF?平面ACF內，DE?平面ACF內，
∴DE∥平面ACF；
（2）三棱錐E-ACF的體積V_E-ACF=V_A-CEF=V_A-BCF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2=\frac{2}{3}$；
（3）∵EC⊥底面ABCD，且EC?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ABCD，
又平面BCE∩平面ABCD=BC，
DC⊥BC，
∴DC⊥BC，DC⊥CF，則∠BCF為二面角B-CD-F的平面角．
在△BCF中，由$CF=BF=\sqrt{2}$，BC=2，
∴cos∠BCF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即二面角B-CD-F的大小為45°．

點評 本題考查線面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．