Question

2．已知函數f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$與g（x）═mx+1-m的圖象相交于點A，B兩點，若動點P滿足|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=2，則P的軌跡方程是（x-1）²+（y-1）²=4．

Answer 1

分析 聯立直線方程和雙曲線方程，求得A，B的坐標，寫出向量的坐標，求出兩向量的坐標和，由向量的模等于2化簡整理得到P的軌跡方程．

解答 解：聯立函數f（x）=$\frac{x-2}{x-1}$與g（x）═mx+1-m得x=1±$\sqrt{-\frac{1}{m}}$．
當x=1-$\sqrt{-\frac{1}{m}}$時，y=1-m$\sqrt{-\frac{1}{m}}$，
當x=1+$\sqrt{-\frac{1}{m}}$時，y=1+m$\sqrt{-\frac{1}{m}}$，
設動點P（x，y），
則$\overrightarrow{PA}$=（1-$\sqrt{-\frac{1}{m}}$-x，1-m$\sqrt{-\frac{1}{m}}$-y），
$\overrightarrow{PB}$=（1+$\sqrt{-\frac{1}{m}}$-x，1+m$\sqrt{-\frac{1}{m}}$-y），
則$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=（2-2x，2-2y），
由|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=2，得（2-2x）²+（2-2y）²=4，即（x-1）²+（y-1）²=4，
∴P的軌跡方程是（x-1）²+（y-1）²=4，
故答案為（x-1）²+（y-1）²=4．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量的坐標運算，是中檔題．