Question

12．設拋物線Γ：x²=2py（p＞0）的準線被圓O：x²+y²=4所截得的弦長為$\sqrt{15}$
（Ⅰ）求拋物線Γ的方程；
（Ⅱ）設點F是拋物線Γ的焦點，N為拋物線Γ上的一動點，過N作拋物線Γ的切線交圓O于P、Q兩點，求△FPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的準線方程，利用直線與圓的位置關系列出方程，求出P即可求拋物線Γ的方程；
（Ⅱ）設N（t，$\frac{{t}^{2}}{2}$），圓心O到直線PQ的距離為$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，求出點F到直線PQ的距離，表示出△FPQ面積，利用配方法，可求△FPQ面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）因為拋物線Γ的準線方程為：y=-$\frac{p}{2}$，
且直線被圓O：x²+y²=4所截得的弦長為$\sqrt{15}$，
所以$\sqrt{4-（\frac{p}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{15}$解得p=1，
因此拋物線Γ的方程為x²=2y…（4分）．
（Ⅱ）設N（t，$\frac{{t}^{2}}{2}$），由y′=x知直線PQ的方程為：y-$\frac{{t}^{2}}{2}$=t（x-t）．即y=tx-$\frac{{t}^{2}}{2}$．（6分）
因為圓心O到直線PQ的距離為$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，所以|PQ|=2$\sqrt{4-\frac{{t}^{4}}{4（1+{t}^{2}）}}$，（7分）
設點F到直線PQ的距離為d，則d=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{{t}^{2}}{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{t}^{2}}$，（ 8分）
所以，△FPQ的面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|d=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-{t}^{4}+16{t}^{2}+16}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-（{t}^{2}-8）^{2}+80}$≤$\sqrt{80}$=$\sqrt{5}$（11分）
當t=±2$\sqrt{2}$時取到“=”，經檢驗此時直線PQ與圓O相交，滿足題意．
綜上可知，△FPQ的面積的最大值為$\sqrt{5}$．（12分）．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查拋物線方程，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．