Question

如圖1， 在直角梯形中， ， ，，為線段的中點. 將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示.
（1）求證:平面；
（2）求二面角的余弦值.   

Answer 1

（1）根據線面垂直的性質定理來證明線線垂直。
（2）

試題分析：解析：（1）在圖1中， 可得， 從而，
故.
取中點連結， 則， 又面面，
面面， 面， 從而平面.
∴，又， .
∴平面.
（2）建立空間直角坐標系如圖所示，

則， ， ，，
.
設為面的法向量，則即， 解得. 令， 可得.
又為面的一個法向量，∴.
∴二面角的余弦值為.
（法二）如圖，取的中點，的中點，連結.

易知，又，，又，.
又為的中位線，因，，，且都在面內，故，故即為二面角的平面角.
在中，易知；
在中，易知，.
在中.
故.
∴二面角的余弦值為.
點評：主要是考查了運用向量法來空間中的角以及垂直的證明，屬于基礎題。