Question

（本小題滿分15分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，試分別解答以下兩小題.
（ⅰ）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）若是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）

設(shè)，則t>0，，,令，得，在（0，1）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，.

試題分析：（Ⅰ）f(x)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005536762535.png" style="vertical-align:middle;" />，  ，………………1分
令，，
①當(dāng)時(shí)，在恒成立，f(x)遞增區(qū)間是；………3分
②當(dāng)時(shí)，,又x>0, 遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.         ………………………5分
（Ⅱ）（ⅰ）
設(shè),
化簡(jiǎn)得：,  ………………7分
,
，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，
所以，,即的取值范圍是 .………………9分
（ⅱ），在上單調(diào)遞增,

,   ……11分
設(shè)，則t>0，，,
令，得，在（0，1）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增,………13分

，.        ………………………14分
點(diǎn)評(píng)：本題第一問中求單調(diào)區(qū)間需要對(duì)參數(shù)分情況討論從而確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)；第二問中關(guān)于不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題