Question

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的正弦值；

（Ⅲ）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，利用向量的數量積，求得，即可得到平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）求得平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解平面與平面所成二面角的正弦值．

（Ⅲ）設，，得，利用向量的夾角公式，列出方程，求得，得到向量的坐標，進而求解的長.

（Ⅰ）證明：四邊形為矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面.

取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，，，

設平面的法向量，∵，，

由得，不妨設，

又 ∴，∴，

又∵平面 ∴平面．

（Ⅱ）設平面的法向量

∵，，

由得，不妨設，

∴， ∴

∴平面與平面所成二面角的正弦值為．

（Ⅲ）∵點在線段上，設，

∴，

又∵平面的法向量，設直線與平面所成角為

∴ ，

∴ ∴，

∵，∴

∴，∴，∴的長為.