Question

【題目】已知函數是奇函數.

（1）求實數的值；

（2）判斷函數的單調性，并用定義證明；

（3）當時，求函數的值域.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）函數是單調遞增函數；

（3）時，值域為:；時，值域為:.

【解析】

(1)由函數是奇函數,利用函數的定義域為時,奇函數在0處有定義，則即可解的的值;
(2)由題意利用函數的單調性的定義加以證明函數的單調性，;
(3)由題意先求出函數的值域，令函數為利用“對勾”函數的單調性求出定義域下的函數的值域.

（1）因為函數定義域為且函數是奇函數,，

(2) 函數是單調遞增函數.證明如下：
由（1）得，因為定義域為, 所以任取，且,
，

,又，,所以，
是單調遞增函數；
(3)由（2）得，是單調遞增函數，所以時，，所以，

所以令,

任取，且，
則，

因為，所以，又因為，所以，

所以當時，，所以，所以在單調遞減；

當時，時，，而時，，

即在單調遞減，在單調遞增；

所以當時， ，

即當時，函數的值域為:
當時，,
即當時，函數的值域為:.

綜上可得：

時，函數的值域為:.

時，函數的值域為:；

故得解.