Question

已知函數f(x)=logm

x-3

x+3

(m＞0且m≠1)．
（Ⅰ）若f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），判斷f（x）的單調性，并加以說明；
（Ⅱ）當0＜m＜1時，是否存在α，β，使得f（x）在區間[α，β]（β＞α＞0）上的值域為[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過對數的真數大于0，集合函數f（x）的定義域為[α，β]，推出α的范圍．直接利用函數的單調性判斷函數的單調性，注意當0＜m＜1與m＞1兩種情況．
（Ⅱ）通過f（x）在[α，β]上的值域為[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，利用（Ⅰ）f（x）單調性．列出關系式，通過二次函數與方程的根的關系，確定m的范圍，判斷是否存在滿足題意條件的α，β．

解答：解：（Ⅰ）

x-3

x+3

＞0?x＜-3或x＞3．由于f（x）的定義域為[α，β]，則α＞3．
設β≥x₁＞x₂≥α，有

x1-3

x1+3

-

x2-3

x2+3

=

6(x1-x2)

(x1+3)(x2+3)

＞0，
故當0＜m＜1時，f（x）為減函數，當m＞1時，f（x）為增函數．（4分）
（Ⅱ）若f（x）在[α，β]上的值域為[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]
由（Ⅰ）知當0＜m＜1時，f（x）為減函數．
則

f(β)=logm β-3 β+3 =logmm(β-1) f(α)=logm α-3 α+3 =logmm(α-1)

即

mβ2+(2m-1)β-3(m-1)=0 mα2+(2m-1)α-3(m-1)=0

又β＞α＞3
即α，β為方程mx²+（2m-1）x-3（m-1）=0的大于3的兩個不同的實數根．
從而

0＜m＜1 △=16m2-16m+1＞0 - 2m-1 2m ＞3 f(3)＞0

得0＜m＜

2- 3

4

．
故當0＜m＜

2- 3

4

時，存在滿足題意條件的α，β．（13分）

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，函數的值域，對數函數的單調性與特殊點，考查分析問題解決問題的能力．