Question

已知函數f（x）=sin

2

3

x+cos（

2

3

x-

π

6

），對任意實數α，β，當f（α）-f（β）取最大值時，|α-β|的最小值是（　　）

• A．3π
• B．

  3π

  2

• C．

  4π

  3

• D．

  2π

  3

Answer 1

分析：利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式為=

3

sin（

2x

3

+

π

6

），當f（α）-f（β）取最大值時，|α-β|的最小值是函數的最小正周期的一半，由此求得
|α-β|的最小值．

解答：解：函數f（x）=sin

2

3

x+cos（

2

3

x-

π

6

）=sin

2

3

x+cos

2

3

xcos

π

6

+sin

2x

3

sin

π

6

=

3

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

=

3

sin（

2x

3

+

π

6

），
當f（α）-f（β）取最大值時，|α-β|的最小值是函數的最小正周期的一半，而函數的最小正周期為

2π

2 3

=3π，
故，|α-β|的最小值是

3π

2

，
故選B．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，屬于中檔題．