Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D為AC的中點，AB⊥PD．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABC
（Ⅱ）如果三棱錐P-BCD的體積為3，求PA．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的判定，證明OD⊥平面PAB，從而平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）利用三棱錐的體積公式，得到PA長度的方程，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）取AB中點為O，連結OD，OP．
因為PA=PB，所以AB⊥OP．
又AB⊥PD，OP∩PD=P，所以AB⊥平面POD，
因為OD?平面POD，所以AB⊥OD．…（3分）
由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，所以OD⊥PB，
因為AB∩PB=B，所以OD⊥平面PAB．
又OD?平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OP⊥平面ABC．
設PA=a，因為D為AC的中點，所以
V_P-BCD=

1

2

V_P-ABC=

1

2

×

1

3

×

1

2

a²×

3

2

a=

3

24

a³，…（10分）
由

3

24

a³=3解得a=2

3

，即PA=2

3

．…（12分）

點評：本題以考查面面垂直、三棱錐體積計算，考查空間想象能力和計算能力．