Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x），f′（0）＞0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥0，則

f(1)

f′(0)

的最小值為（　　）

• A、3
• B、

  5

  2

• C、2
• D、

  3

  2

Answer 1

分析：先求導(dǎo)，由f′（0）＞0可得b＞0，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥0，所以結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得a＞0且b²-4ac≤0，又因?yàn)?span id="kuyeasy" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

f(1)

f′(0)

=

a+b+c

b

=

a+c

b

+1，利用均值不等式即可求解．

解答：解：∵f'（x）=2ax+b，
∴f'（0）=b＞0；
∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥0，
∴a＞0且b²-4ac≤0，
∴b²≤4ac，
∴c＞0；
∴

f(1)

f′(0)

=

a+b+c

b

=

a+c

b

+1≥

2 ac

b

+1≥1+1=2，
當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求導(dǎo)公式，二次函數(shù)恒成立問(wèn)題以及均值不等式，綜合性較強(qiáng)．